Question

幂级数收敛的判别方法

Answer 1

幂级数收敛的判别方法：∑x^（2n+1）/（2n+1），
收敛半径R=lima/a=lim[2(n+1)+1]/(2n+1)=lim(2n+3)/(2n+1)=1。
当x=1时，幂级数变为∑1/(2n+1)。
>∑1/[2(n+1)]=(1/2)∑1/(n+1)。
后者发散，则级数发散；
当x=-1时，幂级数变为-∑1/(2n+1)。
因∑1/(2n+1)发散，则级数发散。
故收敛域是x∈(-1，1)。
即x∈(-1，1)时收敛，x∈(-∞，-1]∪[1，+∞)时发散。
建议：用比较判别法判断级数的收敛性时，通常构造另一级数。根据另一级数判断所求级数的敛散性。

Answer 2

幂级数收敛的判别方法：∑x^（2n+1）/（2n+1），
收敛半径R=lima/a=lim[2(n+1)+1]/(2n+1)=lim(2n+3)/(2n+1)=1。
当x=1时，幂级数变为∑1/(2n+1)。
>∑1/[2(n+1)]=(1/2)∑1/(n+1)。
后者发散，则级数发散；
当x=-1时，幂级数变为-∑1/(2n+1)。
因∑1/(2n+1)发散，则级数发散。
故收敛域是x∈(-1，1)。
即x∈(-1，1)时收敛，x∈(-∞，-1]∪[1，+∞)时发散。
建议：用比较判别法判断级数的收敛性时，通常构造另一级数。根据另一级数判断所求级数的敛散性。