Question

数学里什么是余数

Answer 1

在整数运算中除数不能整除被除数时会有余数 ,在整数的除法中,只有能整除与不能整除两种情况.当不能整除时,就产生余数,所以余数问题在小学数学中非常重要.
取余数运算：
a mod b = c 表示 整数a除以整数b所得余数为c
如 7 mod 3 = 1 .
余数有如下一些重要性质（a,b,c均为自然数）：
（1）余数小于除数.
（2）被除数=除数×商+余数；
除数=（被除数-余数）÷商；
商=（被除数-余数）÷除数.
（3）如果a,b除以c的余数相同,那么a与b的差能被c整除.例如,17与11除以3的余数都是2,所以17-11能被3整除.
（4）a与b的和除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）.例如,23,16除以5的余数分别是3和1,所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4.注意：当余数之和大于除数时,所求余数等于余数之和再除以c的余数.例如,23,19除以5的余数分别是3和4,所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数.
（5）a与b的乘积除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）.例如,23,16除以5的余数分别是3和1,所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3.注意：当余数之积大于除数时,所求余数等于余数之积再除以c的余数.例如,23,19除以5的余数分别是3和4,所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数.
性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形.
例1 5122除以一个两位数得到的余数是66,求这个两位数.
由性质（2）知,除数×商=被除数-余数.
5122-66=5056,
5056应是除数的整数倍.将5056分解质因数,得到
5056=26×79.
由性质（1）知,除数应大于66,再由除数是两位数,得到除数在67～99之间,符合题意的5056的约数只有79,所以这个两位数是79.
例2 被除数、除数、商与余数之和是2143,已知商是33,余数是52,求被除数和除数.
因为被除数=除数×商+余数
=除数×33+52,
被除数=2143-除数-商-余数
=2143-除数-33-52
=2058-除数,
所以 除数×33+52=2058-除数,
所以 除数=（2058-52）÷34=59,
被除数=2058-59=1999.
答：被除数是1999,除数是59.
例3 甲、乙两数的和是1088,甲数除以乙数商11余32,求甲、乙两数.
因为 甲=乙×11+32,
所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088,
所以 乙=（1088-32）÷12=88,
甲=1088-乙=1000.
答：甲数是1000,乙数是88.
例4 有一个整数,用它去除70,110,160得到的三个余数之和是50.求这个数.
先由题目条件,求出这个数的大致范围.因为50÷3=16……2,所以三个余数中至少有一个大于16,推知除数大于16.由三个余数之和是50知,除数不应大于70,所以除数在17～70之间.
由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除.将290分解质因数,得到290=2×5×29,290在17～70之间的约数有29和58.
因为110÷58=1……52＞50,所以58不合题意.所求整数是29.
例5 求478×296×351除以17的余数.
先求出乘积再求余数,计算量较大.根据性质（5）,可先分别计算出各因数除以17的余数,再求余数之积除以17的余数.
478,296,351除以17的余数分别为2,7和11,（2×7×11）÷17=9……1.
所求余数是1.
例6 甲、乙两个代表团乘车去参观,每辆车可乘36人.两代表团坐满若干辆车后,甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车.参观完,甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念.如果每个胶卷可拍36张照片,那么拍完最后一张照片后,相机里的胶卷还可拍几张照片?
甲代表团坐满若干辆车后余11人,说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人正好坐满一辆车,说明乙代表团余36-11=25（人）,即乙代表团的人数（简称乙数）除以36余25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片,共要拍“甲数×乙数”张照片,因为每个胶卷拍36张,所以最后一个胶卷拍的张数,等于“甲数×乙数”除以36的余数.
因为甲数除以36余11,乙数除以36余25,所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数.
（11×25）÷36=7……23,
即最后一个胶卷拍了23张,还可拍36-23=13（张）.
由例6看出,将实际问题转化为我们熟悉的数学问题,有助于我们思考解题.