Question

函数定义域为R△会怎样

Answer 1

来讨论对数函数的定义域为R的情况.
因为在对数函数中要求真数恒大于0，函数f(x)=log0.5(ax2+2x+1)的定义域为R，说明当x取任意值时，g(x)=ax2+2x+1>0恒成立，即真数ax2+2x+1恒大于0.

要强调的是，真数ax2+2x+1恒大于0时，意味着函数g(x)=ax2+2x+1的图象开口向上且不与x轴相交，g(x)不可能取到所有正数，所以此时真数必定不能取到所有正数值.

下面我们来探讨对数函数的值域为R的情况.

若要使对数函数f(x)=log0.5(ax2+2x+1)的值域为R，真数ax2+2x+1对应的函数g(x)=ax2+2x+1应能取到所有正数值.

若a>0，Δ=4-4a<0，则g(x)=ax2+2x+1>0恒成立，二次函数g(x)的图象开口向上且与x轴无交点，g(x)能取到的最小正数值为g(x)min=g-=1-. 因为f(x)=log0.5(ax2+2x+1)在-∞，-上为增函数，在-，+∞上为减函数，所以f(x)max=log0.5g(x)min=log0.5g-，即 f(x)存在最大值，这说明它的值域不为R