Question

证明：Sin42°-cos12°+sin54°=½

Answer 1

sin42°－cos12°＋sin54°
＝sin42°－sin78°＋cos36°
＝2sin（－18°）cos60°＋1－2（sin18°）^2
＝1－sin18°－2（sin18°）^2
＝1－（√5－1）/4－2［（√5－1）/4］^2
＝1－（√5－1）/4－2［（5－2√5＋1）/16］
＝1－（√5－1）/4－（3－√5）/4
＝1/2.　　证明完毕.
下面证明：sin18°＝（√5－1）/4.
∵sin36°＝cos54°,∴sin（2×18°）＝cos（3×18°）,
∴2sin18°cos18°＝4（cos18°）^3－3cos18°.
显然,cos18°＞0,　∴2sin18°＝4（cos18°）^2－3＝4－4（sin18°）^2－3,
∴4（sin18°）^2＋2sin18°－1＝0,∴（2sin18°）^2＋2sin18°－1＝0.
显然,sin18°＞0,∴2sin18°＝［－1＋√（1＋4）］/2.　［只取正号,否则sin18°＜0］
∴sin18°＝（√5－1）/4.