Question

高数极限计算题？

问题一：答案说要把tanx-sinx化为tanx（1-cosx），再等价为1/2倍的x³，为什么可以这样等价啊，两个相乘的式子都能等价吗
问题二：为什么不把tanx和sinx都等价为x呢

Answer 1

根据泰勒公式

sinx = x-(1/6)x^3+o(x^3)

tanx = x+(1/3)x^3+o(x^3)

问题一：

tanx - sinx

=tanx. (1-cosx)

=(1/2)x^3

根据泰勒公式

tanx - sinx

= [x+(1/3)x^3+o(x^3)] -[x-(1/6)x^3+o(x^3) ]

=(1/2)x^3 +o(x^3)

那是跟“问题一”得出的等价是一致的，所以没问题！

问题二：为什么不把tanx和sinx都等价为x呢

tanx - sinx = x-x =0

那拿什么跟分母比较，这是不行的！

Answer 2

等价无穷小代换可用于乘除， 不可用于加减。
所以分子将加减先变为乘积，再无穷小代换。即方法1.