Question

设P是边长为a的正三角形ABC所在平面外一点,PA=PB=PC=a,求二面角P-AB-C的大小

Answer 1

令AB的中点为D,△ABC的中心为O.
∵PA＝PB＝PC＝AB＝BC＝AC＝a,∴P－ABC是正四面体,∴PO⊥平面ABC,
∴PO⊥DO.
∵PA＝PB＝AB＝a、D∈AB且AD＝BD,∴PD⊥AB.
∵AC＝BC＝AB＝a、D∈AB且AD＝BD,∴CD⊥AB.
由PD⊥AB、CD⊥AB,得：∠PDC＝二面角P－AB－C的平面角.
显然有：△PAB≌△CAB,∴PD＝CD.
∵O是△ABC的中心,∴O是△ABC的重心,∴DO＝（1/3）CD＝（1/3）PD,∴DO/PD＝1/3.
∴cos∠PDC＝DO/PD＝1/3,∴∠PDC＝arccos（1/3）.
∴二面角P－AB－C的大小为arccos（1/3）.