Question

1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+2)

Answer 1

1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6。

证明过程如下：

n^2=n(n+1)-n

1^2+2^2+3^2+.+n^2

=1*2-1+2*3-2+.+n(n+1)-n

=1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n)

由于n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3

所以1*2+2*3+...+n(n+1)

=[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+.+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3

前后消项：

=[n(n+1)(n+2)]/3

所以1^2+2^2+3^2+.+n^2

=[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2

=n(n+1)[(n+2)/3-1/2]

=n(n+1)[(2n+1)/6]

=n(n+1)(2n+1)/6

扩展资料：

数列求和的方法

1、公式法

（1）等差数列求和公式：Sn=1/2*n（a1+an）=d/2*n+（a1-d/2）*n

（2）等比数列求和公式：Sn=na1（q=1）、Sn=a1*（1-q^n）/（1-q）（q≠1）

（3）自然数求和公式：（1+2+3+...+n）=n(n+1)/2

2、错位相减法

3、倒序相加法

4、分组法

5、裂项相消法

（1）1/（n*（n+1））=1/n-1/（n+1）

（2）1/（（2n-1）*（2n+1））=1/2（1/（2n-1）-1/（2n+1））