Question

t分布的期望和方差推导

Answer 1

χ分布

定义：设 X,X,......X相互独立, 都服从标准正态分布N(0,1), 则称随机变量χ=X+X+......+X所服从的分布为自由度为 n 的χ2分布.

结论：期望E（χ）=n，方差D(χ)=2n。

χ分布具有可加性。若χ~χ(n),χ~χ(m)，且二者相互独立，则χ+χ~χ(n+m)。

t分布

定义：t分布设X1服从标准正态分布N(0,1)，X2服从自由度为n的χ2分布，且X1、X2相互独立，则称变量t=X1/（X2/n）所服从的分布为自由度为n的t分布。

结论：期望 E（T）=0，方差 D(T)=n/(n-2),n>2

F分布

定义：F分布设X1服从自由度为m的χ2分布,X2服从自由度为n的χ2分布，且X1、X2相互独立，则称变量F=(X1/m)/(X2/n)所服从的分布为F分布，其中第一自由度为m,第二自由度为n.

结论：1.期望E(F)=n/(n-2)，方差D(F)=2n^2(m+n-2)/m(n-2)^2(n-4)

2.若F~F(m,n)，则1/F~F(n,m)

3.若F~F(1,n)，T~T(n)，则F=T^2