反三角函数怎么求导？
反三角函数是基本初等函数的重要组成部分，但似乎又是许多人常问的主体之一。为了方便理解和查询，本文总结了以下内容：
常见的六种三角函数对应的反三角函数的定义、定义域、值域，并给出对应三角形图示汇总、对应图象汇总
利用反函数求导法则完成了上述所有反三角函数的导数公式的推导，并详细总结了其值域、定义域等内容
常见的六种三角函数可以分别由以下六种三角形表示
反三角函数是三角函数的反函数。若将上图中所有x,y 调换位置则得到反三角函数的图示：
- 标
- 部分主要是要把上一步完全由
- 表示，由于有以下恒等关系
- i)
- 因此:
- ii) 这时必须注意到
- 的取值范围
- (见表1.）。而在这一步中不能取任何一个端点。同时注意到：
- 时：
- 都大等于
- 时：
- 都小等于
- 因此：
- 综上：标
- 步的写法可以保证这一不等关系始终成立。
本文内容也可作为备忘资料以便查阅使用。
一、常用三角函数与反三角函数
图1.三角函数及其对应三角形
图2.反三角函数及其对应三角形
上述反三角函数的图象如下图所示：
图3.反三角函数的图象
在使用反三角函数时一定要注意其定义值和值域。
表1. 反三角函数的定义值及值域
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二、反三角函数的导数的推导过程
反函数求导公式在另一篇笔记里已经回顾过：关于反函数的高阶导数
反函数的导 数等于直接函数的导数的倒 数。
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先给结论：
表2. 反三角函数的导数及其定义域
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接下来依次证明：
1、反正弦函数的导数
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2、反余弦函数 的导数
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证法I： 类似推导
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证法II：由，于是
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3、反正切函数 的导数
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4、反余切函数 的导数
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证法I：类似3，略。
证法II： 类似2，由，于是
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5、反正割函数 的导数
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6、反余割函数 的导数
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证法I：类似5，略。
证法II： 类似2，由，于是
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小结
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本文简单总结了反三角函数的定义、其对应的三角函数、其定义域、值域，其后利用反函数求导法则完成了所有反函数求导公式的推导证明。不难看出上述推导过程其实都并不复杂（除反正割、反余割函数外），若能熟练使用各种三角函数变换技巧则能轻松完成所有证明。在实际使用三角函数时，图1,图2给出的图示十分有用，尤其在考虑积分换元时。另外，在使用反三角函数时，一定要明确各个三角函数的定义域及值域，这一点在第5个证明中体现得较为明显。若忽视这些细节，则十分容易出错。
