Question

如何求函数的广义积分？

Answer 1

用分部积分，得到上式=xlnx|

x=1-xlnx|x=0-[xdlnx在（0,1）的积分]
而xlnx在x=1时为0，而xlnx在x=0时为0（这里要用L'Hospital法则得到当x趋于0时，lnx为x的负的任意小的阶即如果我们要计算（x^a）*lnx当x趋于0时的极限，这里a是一个任意小的正数，由于x^a趋于0，lnx趋于负无穷，故用L'Hospital法则，将（x^a）*lnx写作lnx/x^(-a)，

再运用无穷比无穷的L'Hospital法则，上下两式都对x求导得(1/x)/(-ax^(-a-1))=(-1/a)x^a，当x趋于0时，对任意a>0，(-1/a)x^a都趋于0，所以|xlnx|其实小于等于常数倍的x的（1-a）的阶，而x^(1-a)当x=0时为0，所以xlnx在x=0时为0），xdlnx=x*(1/x)dx=dx，dx在（0,1）的积分＝1，综上，lnxdx区间（0,1）的广义积分为-1