Question

求和：1+1/2+1/3+1/4+…+1/n=?可推广到等差数列的倒数求和。

Answer 1

很多人一开始看到这个问题，常常会很直觉的回答：[收敛级数]。因为当级数继续发 展下去，所加上的数便会趋近於无限小，趋近於零，对整个级数的影响也相对变小，故得 知1+1/2+1/3+1/4+…..为收敛级数，这样的解释看似合理，但事实真是如此吗？大家都应 该知道，所谓发散级数，指的就是无论加上多小的数，虽然一开始没有太大的变化，但加 到某个范围便会持续变大，而上列的题目便是属於这种例子。 一开始我们先设原式为： A＝1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10+1/11+1/12+1/13+1/13+…… 然后再设另一式为： B=1+1/2+（1/4+1/4）+（1/8+1/8+1/8+1/8）+(1/16+1/16+1/16+1/16+1/16+……..所以A＞B………..a ＝＞B＝1+1/2+1/4×2+1/8×4+1/16×8+1/32×16+1/64×32+1/128×64+………… ＝1+1/2+1/2+1/2+1/2+1/2+1/2+1/2+……….. 由上是得知B为发散级数……..b 由a,b两个条件∴A为发散级数