Question

求微分方程y''+9y'=x-4的通解

请高手帮帮忙

Answer 1

运用微分算子：(D^2+9D)y=x-4
故，其特征方程为x^2+9x=0,特征根为0和-9,其对应的七次方程(D^2+9D)y=0的通解为：y=c1+c2*e^(-9x)
还需要找到方程的一个特解，根据左边式子为x-4 的特点，可以设一个特解为二次函数y=ax^2+bx+c,求导为y'=2ax+b,y"=2a,带入原方程为：2a+9（2ax+b）=x-4
两边对应系数应该相等：18a=1,2a+9b=-4,a=1/18,b=-37/81,故特解为:
y=(1/18)x^2-（37/81）x

通解为：y=(1/18)x^2-（37/81）x+c1+c2*e^(-9x)

Answer 2

用计算机软件求解可以得到（MATLAB）
y=1/18*x^2-1/9*exp(-9*x)*C1-37/81*x+C2
当然也可以用常微分方程的理论求解。