设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且在(a,b)内f(x)≠0证明在ab

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F(x)=∫[a-->x]f(t)dt/(x-a)

F'(x)=(f(x)(x-a)-∫[a-->x]f(t)dt)/(x-a)^2

积分中值定理,存在ξ∈(a,x),使∫[a-->x]f(t)dt=f(ξ)(x-a)

则F'(x)=(f(x)(x-a)-f(ξ)(x-a))/(x-a)^2

=(f(x)-f(ξ))/(x-a)

由x在(a,b)内,x>a,由ξ∈(a,x),则ξ<x,

由于f'(x)<0,则f(x)是减函数,则f(x)<f(ξ)

因此F'(x)=(f(x)-f(ξ))/(x-a),分子为负,分母为正,所以F'(x)<0。

函数y=f(x)当自变量x的变化很小时,所引起的因变量y的变化也很小。例如,气温随时间变化,只要时间变化很小,气温的变化也是很小的;又如,自由落体的位移随时间变化,只要时间变化足够短,位移的变化也是很小的。

扩展资料:

如果自变量在某一点处的增量趋于0时,对应函数值的增量也趋于0,就把f(x)称作是在该点处连续的。

函数极限的定义中曾经强调过,当x→x0时f(x)有没有极限,与f(x)在点x0处是否有定义并无关系。但由于现在函数在x0处连续,则表示f(x0)必定存在,显然当Δx=0(即x=x0)时Δy=0<ε。于是上述推导过程中可以取消0<|Δx|这个条件。

反证法,假设f(x)在[a,b]上无上界,则对任意正数M,都存在一个x'∈[a,b],使f(x')>M。

特别地,对于任意正整数n,都存在一个xn∈[a,b],使f(xn)>n。

参考资料来源:百度百科——连续函数

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