Question

已知函数f(x)＝4cosωxsin(ωx+π6)（ω为正常数）的最小正周期是π．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）由=，能求出ω．
（Ⅱ）由，当时，能求出对称轴，当f（x）单调递减时，，f（x）的单减区间．
（III）由-[π/6≤x≤ π 4]，知-[π/6 ≤2x+ π 6 ≤ 2π 3]．由此能求出当x=[π/6]时，f（x）取得最大值3，当x=-[π/6]时，f（x）取得最小值0．

（Ⅰ）因为f(x)＝4cosωxsin(ωx+
π
6)
=
3sin2ωx+2co
s2 ωx（2分）
=2sin(2ωx+
π
6)+1（4分）
因为ω为正常数，故ω=1．（5分）
（Ⅱ）f(x)＝2sin(2x+
π
6)+1（6分），
当2x+
π
6＝kπ+
π
2(k∈Z)时，
f（x）是轴对称图形，即对称轴x＝
kπ
2+
π
6(k∈Z)（8分），
当f（x）单调递减时，2x+
π
6∈[2kπ+
π
2，2kπ+
3π
2](k∈Z)，
即f（x）的单减区间是x∈[kπ+
π
6，kπ+
2π
3](k∈Z)
（不写k∈Z只扣（1分），不重复扣分）（10分）
（ III）∵-[π/6≤x≤
π
4]，∴-[π/6≤2x+
π
6≤
2π
3]．（11分）
于是，当2x+[π/6]=[π/2]，即x=[π/6]时，f（x）取得最大值3；（13分）
当2x+[π/6]=-[π/6]，即x=-[π/6]时，f（x）取得最小值0．（15分）
不写x值扣（1分）．

点评：
本题考点： 两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性．

考点点评： 本题考查满足条件的实数值的求法，考查f（x）的对称轴和单减区间的求法，考查f（x）在区间[−π6，π4]上的最值及相应的x值的求法．解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．