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(1)∵ f(x)=
∫ x0 t(t-4)dt = (
1
3 t 3 -2 t 2 )
| x0 =
1
3 x 3 -2 x 2
∴f′(x)=x 2 -4x
不等式f(x)+2x+2<m可化为m>x 2 -2x+2
∵不等式f(x)+2x+2<m在[0,2]内有解,
∴m>(x 2 -2x+2) min (x∈[0,2])
∵x 2 -2x+2=(x-1) 2 +1,
∴当x∈[0,2]时,(x 2 -2x+2) min =1
∴m>1,
∴实数m的取值范围为(1,+∞)
(2)由(1)得 g(x)=
1
3 x 3 -2 x 2 +a-
1
3 ,
∴g′(x)=x 2 -4x=x(x-4)
则当x∈[0,4]时,g′(x)≤0;当x∈(4,5]时,g′(x)>0
∴当x=4时,g(x)的最小值为g(4)=a-11
∵函数g(x)在区间[0,5]上没有零点,
∴a-11>0或
g(0)=a-
1
3 <0
g(5)=-
26
3 +a<0
∴a>11,或a <
1
3
∴实数a的取值范围为(11,+∞)∪(-∞,
1
3 ).,2, 已知函数 f(x)= ∫ x0 t(t-4)dt ;
(1)若不等式f(x)+2x+2<m在[0,2]内有解,求实数m的取值范围;
(2)若函数 g(x)=f(x)+a- 1 3 在区间[0,5]上没有零点,求实数a的取值范围.
∫ x0 t(t-4)dt = (
1
3 t 3 -2 t 2 )
| x0 =
1
3 x 3 -2 x 2
∴f′(x)=x 2 -4x
不等式f(x)+2x+2<m可化为m>x 2 -2x+2
∵不等式f(x)+2x+2<m在[0,2]内有解,
∴m>(x 2 -2x+2) min (x∈[0,2])
∵x 2 -2x+2=(x-1) 2 +1,
∴当x∈[0,2]时,(x 2 -2x+2) min =1
∴m>1,
∴实数m的取值范围为(1,+∞)
(2)由(1)得 g(x)=
1
3 x 3 -2 x 2 +a-
1
3 ,
∴g′(x)=x 2 -4x=x(x-4)
则当x∈[0,4]时,g′(x)≤0;当x∈(4,5]时,g′(x)>0
∴当x=4时,g(x)的最小值为g(4)=a-11
∵函数g(x)在区间[0,5]上没有零点,
∴a-11>0或
g(0)=a-
1
3 <0
g(5)=-
26
3 +a<0
∴a>11,或a <
1
3
∴实数a的取值范围为(11,+∞)∪(-∞,
1
3 ).,2, 已知函数 f(x)= ∫ x0 t(t-4)dt ;
(1)若不等式f(x)+2x+2<m在[0,2]内有解,求实数m的取值范围;
(2)若函数 g(x)=f(x)+a- 1 3 在区间[0,5]上没有零点,求实数a的取值范围.
杭州彩谱科技有限公司
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