Question

已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的两个焦点分别是F1,F2,

Answer 1

（1）假设存在点P（x0,y0）满足题中条件．
∵双曲线的一条渐近线为y=3x,∴ba=3,b=3a,∴b2=3a2,c2-a2=3a2,e=ca=2．
由|PF 1|d=2得,
|PF2|=2|PF1|①
∵双曲线的两准线方程为x=±a2c,
∴|PF1|=|2x0+2a2c|=|2x0+a|,|PF2|=|2x0-a2c|=|2x0-a|．
∵点P在双曲线的左支上,
∴|PF1|=-（a+ex0）,|PF2|=a-ex0,代入①得：a-ex0=-2（a+ex0）,
∴x0=-3a2,代入双曲线方程得y0=±15a2．
∴存在点P使d、|PF1|、|PF2|成等比数列,点P的坐标是（-3a2,±15a2）．
（2）|PF1|=ed,
∵d,|PF1|,|PF2|成等比数列
∴（ed）2=ed2+2ad 由（1）得x1=(a+c)a 2ac-c2,将e=ca和P的坐标代入．．
因为x1≤-a．整理可得 a2+2ac-c2≥0
两边同除c2．得e2-2e-1≤0．所以1-2＜e＜2+1
∵e＞1
∴e∈（1,1+2）