Question

fx＋gx极限存在的充要条件是什么及其中某一个函数的极限可以不存在吗？

Answer 1

f（x）和g（x）都没有极限，f（x）+g（x）也可以有极限。\r\n但是如果f（x）和g（x）只有一个是没有极限的，另一个有极限，则f（x）+g（x）必然无极限。\r\nf（x）和g（x）都没有极限，h（x）=f（x）+g（x）有极限的情况：\r\nf（x）=1（x≤0）；-1（x＞0）\r\ng（x）=-1（x≤0）；1（x＞0）\r\nf（x）和g（x）都是分段函数，都在x=0点有跳跃间断点，所以f（x）和g（x）在x=0点都无极限。但是h（x）=f（x）+g（x）=1（x∈R）在x=0点有极限，极限是1\r\n所以\r\nf（x）和g（x）都没有极限，h（x）=f（x）+g（x）也可以有极限。\r\n \r\n但是如果f（x）和g（x）只有一个是没有极限的，另一个有极限，则h（x）=f（x）+g（x）必然无极限。\r\n反证法：当x→x0的时候，f（x）的极限是a，g（x）无极限，求证h（x）=f（x）+g（x）无极限。\r\n假设当x→x0的时候h（x）=f（x）+g（x）也有极限，极限是b\r\nlim（x→x0）g（x）=lim（x→x0）[h（x）-f（x）]\r\n=lim（x→x0）h（x）-lim（x→x0）f（x）=b-a\r\n和g（x）无极限矛盾\r\n所以f（x）和g（x）只有一个是没有极限的，另一个有极限，则h（x）=f（x）+g（x）必然无极限。