已知a，b，c都是互不相等的正数，求证：（a+b+c）（ab+bc+ca）>9abc．
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证明：∵（a+b+c）（ab+bc+ac）-9abc
=a 2 b+abc+a 2 c+ab 2 +b 2 c+abc+abc+bc 2 +ac 2 -9abc
=a 2 b+a 2 c+ab 2 +b 2 c+bc 2 +ac 2 -6abc
=（a 2 b+bc 2 -2abc）+（ab 2 +ac 2 -2abc）+（b 2 c+a 2 c-2abc）
=b（a 2 +c 2 -2ac）+a（b 2 +c 2 -2bc）+c（a 2 +b 2 -2ab）
=b（a-c） 2 +a（b-c） 2 +c（a-b） 2
∵a、b、c均为正，a>0 b>0 c>0
∵a、b、c互不相等，（a-c） 2 >0 （b-c） 2 >0 （a-b） 2 >0
∴b（a-c） 2 +a（b-c） 2 +c（a-b） 2 >0
∴（a+b+c）（ab+bc+ac）-9abc>0
从而（a+b+c）（ab+bc+ac）>9abc，不等式成立．
=a 2 b+abc+a 2 c+ab 2 +b 2 c+abc+abc+bc 2 +ac 2 -9abc
=a 2 b+a 2 c+ab 2 +b 2 c+bc 2 +ac 2 -6abc
=（a 2 b+bc 2 -2abc）+（ab 2 +ac 2 -2abc）+（b 2 c+a 2 c-2abc）
=b（a 2 +c 2 -2ac）+a（b 2 +c 2 -2bc）+c（a 2 +b 2 -2ab）
=b（a-c） 2 +a（b-c） 2 +c（a-b） 2
∵a、b、c均为正，a>0 b>0 c>0
∵a、b、c互不相等，（a-c） 2 >0 （b-c） 2 >0 （a-b） 2 >0
∴b（a-c） 2 +a（b-c） 2 +c（a-b） 2 >0
∴（a+b+c）（ab+bc+ac）-9abc>0
从而（a+b+c）（ab+bc+ac）>9abc，不等式成立．
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