Question

拉格朗日中值定理的条件为什么是充分不必要的？

Answer 1

[拉格朗日(Lagrange)中值定理]若函数f(x)满足条件：

（1）在闭区间[a,b]上连续；

（2）在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得

显然，罗尔定理是拉格朗日中值定理当f(a)=f(b)时的特殊情形，拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广。这样会使成立条件范围进一步缩小，因为原定理并没有强制要求两端点导数存在，也就是说原函数没必要在两端点各多存在一个左导数与右导数。

解析：

该定理给出了导函数连续的一个充分条件。必要性不成立，即函数在某点可导，不能推出导函数在该点连续，因为该点还可能是导函数的振荡间断点。

函数在某一点的极限不一定等于该点处的函数值；但如果这个函数是某个函数的导函数，则只要这个函数在某点有极限，那么这个极限就等于函数在该点的取值。