Question

多元函数在某处的偏导存在与否是怎么判断的？

Answer 1

1、多元函数在某处沿某一方向不连续，则该处该方向上的偏导不存在；

2、多元函数在某处沿某一方向不光滑，则该处该方向上的偏导不存在；

3、多元函数在某处沿某一方向斜率不为∞，则该处沿该方向的偏导不存在；

偏导数存在的条件：

1、如果函数z=f(x,y)在(x,y)处的全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，则该函数全微分存在，可以证明，此时A=∂z/∂x，B=∂z/∂y，因此，全微分存在时偏导都存在的充分条件；

2、而反过来，偏导都存在，却不一定全微分存在（还要看o(ρ)是否是高阶无穷小！）举例：f(x,y)=xy/√(x²+y²)，x²+y²≠00，x²+y²=0在（0,0）偏导存在，全微分不存在！

3、因此，全微分存在时偏导都存在的充分非必要条件！

求证偏导数存在要注意：

这类问题一般都是证明在某点处偏导数存在，注意这时切记不能使用求导公式，以一元函数为例：这是因为用求导公式计算出来的导函数f'(x)往往含有间断点，在间断点x0处f'(x)无意义。

比如：fy(x,y)是在点(x,y)关于y的偏导数，应当注意，这里x是看作常数的，如果你要求(0,0)处关于y的偏导数，应该先把x固定成x=0，即先求出fy(0,y)=[4*(y^3)*e^(y^2)]/(y^2)=4*y*e^(y^2)，再以y=0代入，得到fy(0,0)=4*0*1=0。