Question

如何判断复变函数在某点的解析性？

Answer 1

1、如果给出的函数形式是f(z)=u(x,y)+i*v(x,y)，且u和v的形式比较和谐，那么直接根据柯西-黎曼方程来进行判断。

2、如果给出的函数形式是w=f(z)（表达式中只有z，没有x、y和其他自变量），而且f(z)的形式比较和谐，那么在定义域内都可以认为f(z)是解析的。

3、如果给出的函数形式是w=f(z,z')（其中z'是z的共轭），而没有其他变量，而且函数的形式比较和谐，那么这个函数在复平面上处处不解析。

如果要求函数f(z)在z0处是否解析，就要根据u和v的表达式，结合柯西-黎曼方程判断f(z)在z0附近（不包括z0）是否可导。如果可导，进一步通过定义法判断f(z)在z0点是否可导。若两次判断都满足可导条件，则f(z)在z0处解析。

扩展资料：

设ƒ(z)是平面开集D内的复变函数。对于z∈D，如果极限存在且有限，则称ƒ(z)在z处是可导的，此极限值称为ƒ(z)在z处的导数，记为ƒ'(z)。这是实变函数导数概念的推广，但复变函数导数的存在却蕴含着丰富的内容。这是因为z+h是z的二维邻域内的任意一点，极限的存在条件比起一维的实数情形要强得多。

一个复变函数如在z的某一邻域内处处有导数，则该函数必在z处有高阶导数，而且可以展成一个收敛的幂级数（见解析函数）。所以复变函数导数的存在，对函数本身的结构有重大影响，而这些结果的研究，构成了一门学科──复变函数论。

参考资料来源：百度百科—复变函数