Question

∫2sinxcosxdx三种解法

Answer 1

您好，∫2sin(x)cos(x)dx可以用三种不同的方法进行求解。

方法一：使用三角恒等式

根据三角恒等式sin(2x) = 2sin(x)cos(x)，我们可以将原式转化为∫sin(2x)dx。然后，我们可以使用简单的积分法来求解，得到∫sin(2x)dx = -1/2cos(2x) + C，其中C为常数。

方法二：使用换元法

我们可以将sin(x)cos(x)看作是sin(x)的导数，然后使用换元法。令u = sin(x)，则du/dx = cos(x)。将cos(x)dx替换为du，原式变为∫2udu = u^2 + C = sin^2(x) + C，其中C为常数。

方法三：使用积分中值定理

我们可以将sin(x)cos(x)看作是f(x)g(x)的形式，其中f(x) = sin(x)，g(x) = cos(x)。根据积分中值定理，存在一个c∈[0, x]，使得∫f(x)g(x)dx = f(c)∫g(x)dx。因此，原式可以表示为2sin(x)∫cos(x)dx = 2sin(x)[sin(x) + C] = 2sin^2(x) + C，其中C为常数。

Answer 2

这是一道比较基础的积分题，下面介绍三种解法：

解法一：利用三角恒等式

将积分式中的 $\sin x\cos x$ 转化为 $\dfrac{1}{2}\sin 2x$，得到：

$$\int 2\sin x\cos x\mathrm{d}x=\int \sin 2x\mathrm{d}x=-\dfrac{1}{2}\cos 2x+C$$

其中 $C$ 为常数。

解法二：利用换元法

令 $u=\sin x$，则 $\mathrm{d}u=\cos x\mathrm{d}x$，原积分式变为：

$$\int 2\sin x\cos x\mathrm{d}x=\int 2u\mathrm{d}u=u^2+C=\sin^2 x+C$$

其中 $C$ 为常数。

解法三：利用分部积分法

将积分式中的 $\sin x$ 视为 $u$，$\cos x\mathrm{d}x$ 视为 $\mathrm{d}v$，则有：

$$\begin{aligned} \int 2\sin x\cos x\mathrm{d}x&=\int u\mathrm{d}v \\ &=u\cdot v-\int v\mathrm{d}u \\ &=\sin x\cdot \cos x-\int \cos x\mathrm{d}(\sin x) \\ &=\sin x\cdot \cos x-\sin x+C \end{aligned}$$

其中 $C$ 为常数。

以上三种解法都可以得到积分式的解答，其中第一种解法利用了三角恒等式，第二种解法利用了换元法，第三种解法利用了分部积分法。

Answer 3

解法一：利用三角恒等式
将2sinxcosx拆分为sin2x的形式，得到2sinxcosxdx=sin2xdx，然后使用积分公式∫sinxdx= -cosx + C，即可得到∫2sinxcosxdx=∫sin2xdx=-0.5cos2x + C。
解法二：利用换元法
令u=sin(x)，则du=cos(x)dx，将2sinxcosxdx替换为2u(1-u^2)du，然后使用积分公式∫(1-u^2)du= u - 1/3u^3 + C，即可得到∫2sinxcosxdx=∫2u(1-u^2)du= -0.5cos2x + C。
解法三：利用部分积分法
将2sinxcosxdx拆分为sinx和cosx的积的形式，即∫2sinxcosxdx=2∫sinxd(cosx)dx，然后使用部分积分法，令u=sinx，dv=cosxdx，得到du=cosxdx，v=sinx，将其代入积分公式∫udv=uv - ∫vdu，即可得到∫2sinxcosxdx= -0.5cos2x + C。