如何求函数的最大值和最小值?

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wjl371116
2023-01-25 · 知道合伙人教育行家
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作函数y=(lnx)/x的图形,求过程

解:定义域:x>0;x→0limy=-∞;x→+∞lim[(lnx)/x]=x→+∞lim(1/x)=0;

令y'=(1-lnx)/x²=0,得1-lnx=0,lnx=1,故得驻点x=e;x<e时y'>0;x>e时y'<0,故x=e

是极大点,极大值y=y(e)=1/e;另外,当x=1时y=0,即有零点(1,0);

令y''=[x²(-1/x)-(1-lnx)•2x]/x^4=(-3x+2xlnx)/x^4=(-3+2lnx)/x³=0 ,

得 x=e^(3/2)≈4.5,即得拐点(e^(3/2),3/2e^(3/2))≈(4.5,1/3);

x<e^(3/2)时y''<0;x>e^(3/2)时y''>0;故(0,e^(3/2]为凸区间;[e^(3/2),+∞)

是凹区间;其图像如下:

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