Question

如何求函数的最大值和最小值？

Answer 1

作函数y=(lnx)/x的图形，求过程

解：定义域：x>0；x→0limy=-∞；x→+∞lim[(lnx)/x]=x→+∞lim(1/x)=0；

令y'=(1-lnx)/x²=0，得1-lnx=0，lnx=1，故得驻点x=e；x<e时y'>0；x>e时y'<0，故x=e

是极大点，极大值y=y(e)=1/e；另外，当x=1时y=0，即有零点(1，0)；

令y''=[x²(-1/x)-(1-lnx)•2x]/x^4=(-3x+2xlnx)/x^4=(-3+2lnx)/x³=0 ，

得 x=e^(3/2)≈4.5,即得拐点(e^(3/2)，3/2e^(3/2))≈(4.5，1/3)；

x<e^(3/2)时y''<0；x>e^(3/2)时y''>0；故(0，e^(3/2]为凸区间；[e^(3/2),+∞）

是凹区间；其图像如下：