Question

如何证明函数f(x)在区间（- a， a）内取得极值

Answer 1

（1）由于函数f(x)在［－a,a]上具有2阶连续导数，根据泰勒公式，对于任意x∈[-a,a]，都存在ξ∈(x,0)或(0,x)使得：
f(x)=f(0)+f'(0)x+1/2f''(ξ)x^2
则有：
f(-a)=f(0)-af'(0)+1/2f''(ξ1)a^2
f(a)=f(0)+af'(0)+1/2f''(ξ2)a^2
将上述两个式子相加得：
f(a)+f(-a)=2f(0)+a^2/2[f''(ξ1)+f''(ξ2)]
由于f(0)=0，且由于f(x)在(-a,a)内具有极值，所以f'(0)=0。
因此，
f''(ξ1)+f''(ξ2)=2f''(ξ) (其中ξ∈(-a,a)，由于x∈[-a,a]，所以ξ∈[x,0]或[0,x]，则ξ∈[-a,a] )
则有：
f(a)+f(-a)=2f(0)+a^2f''(ξ)/3
即：f''(ξ)=1/3[f(a)+f(-a)]
因此，存在ξ∈(-a,a)，使得f''(ξ)=1/3[f(a)+f(-a)]，命题（1）得证。
（2）由于f(x)在（－a,a)内取得极值，所以必定存在一点m∈(-a,a)使得f'(m)=0。
由于f(x)在［－a,a]上具有2阶连续导数，因此f'(x)也是连续的。所以存在一段区间I，包含点m，使得在该区间内f'(x)的绝对值大于等于f'(m)的绝对值的1/2。
根据拉格朗日中值定理，存在η∈I，使得：
|f'(m)|=|f'η)|=|f(a)-f(-a)|/2a
即：1/2|f(a)-f(-a)|≤|f'(m)|
由于|f'(m)|=0，所以1/2|f(a)-f(-a)|≤|f'(m)|=0，即：
1/2|f(a)-f(-a)|≤0
此时，上式两边同时乘以-1/10，得到：
-1/20|f(a)-f(-a)|≥0
因此，1/20|f(a)-f(-a)|≤0，命题（2）得证。
综上所述，命题（1）和（2）均得证。