f(x)=x^3-3x^2+7 求函数在区间[-2,1]上的最大值与最小值
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首先,我们可以求出函数的导数为 $f’(x)=3x^2-6x$,令其等于 0,得到两个零点 $x=0$ 和 $x=2$。那么,根据导数的符号来判断函数的单调性:
当 $x<-2$ 时,$f’(x)>0$,所以 $f(x)$ 在 $(-\infty, -2]$ 上单调递增;
当 $-2 \leq x \leq 0$ 时,$f’(x) \leq 0$,因此 $f(x)$ 在 $[-2, 0]$ 上单调不增;
当 $0 < x < 2$ 时,$f’(x)>0$,所以 $f(x)$ 在 $(0,2)$ 上单调递增;
当 $x \geq 2$ 时,$f’(x) \leq 0$,因此 $f(x)$ 在 $[2, +\infty)$ 上单调不增。
由此可以得出,在区间 $[-2, 1]$ 上 $f(x)$ 的最大值和最小值分别出现在端点 $x=-2$ 和 $x=1$,以及在临界点 $x=0$ 和 $x=2$ 处。
将这些点的函数值计算出来,即
$f(-2) = 23, f(0) = 7, f(1) = 5, f(2) = 3$
所以,函数在区间 $[-2, 1]$ 上的最大值为 23,最小值为 3。
当 $x<-2$ 时,$f’(x)>0$,所以 $f(x)$ 在 $(-\infty, -2]$ 上单调递增;
当 $-2 \leq x \leq 0$ 时,$f’(x) \leq 0$,因此 $f(x)$ 在 $[-2, 0]$ 上单调不增;
当 $0 < x < 2$ 时,$f’(x)>0$,所以 $f(x)$ 在 $(0,2)$ 上单调递增;
当 $x \geq 2$ 时,$f’(x) \leq 0$,因此 $f(x)$ 在 $[2, +\infty)$ 上单调不增。
由此可以得出,在区间 $[-2, 1]$ 上 $f(x)$ 的最大值和最小值分别出现在端点 $x=-2$ 和 $x=1$,以及在临界点 $x=0$ 和 $x=2$ 处。
将这些点的函数值计算出来,即
$f(-2) = 23, f(0) = 7, f(1) = 5, f(2) = 3$
所以,函数在区间 $[-2, 1]$ 上的最大值为 23,最小值为 3。
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