Question

求f(x)=x-sinx/cos²x的单调区间

Answer 1

为了求解函数 f(x) = x - sin(x)/cos²(x) 的单调区间，我们需要找到 f(x) 的导数，并根据导数的正负性来确定 f(x) 的单调性。
首先，我们求 f(x) 的导数 f'(x)：
f'(x) = d/dx [x - sin(x)/cos²(x)]
使用导数的基本公式和商规则来求导：
f'(x) = 1 - (cos²(x)*cos(x) - sin(x)*(-2cos(x)*sin(x))) / cos^4(x)
f'(x) = 1 - (cos³(x) + 2sin²(x)*cos(x)) / cos^4(x)
f'(x) = 1 - (cos³(x) + 2sin²(x)*cos(x)) / cos^4(x)
现在，我们要确定 f(x) 的单调性，即找出使得 f'(x) 大于等于零或小于等于零的区间。
首先，注意到在 cos^4(x) 的分母中，cos^4(x) 恒为正数，因此只需考虑分子的符号。
1. 当 cos³(x) + 2sin²(x)*cos(x) ≥ 0 时，f'(x) ≥ 0。也就是当 cos³(x) + 2sin²(x)*cos(x) 大于等于零时，f(x) 在该区间单调增加。
2. 当 cos³(x) + 2sin²(x)*cos(x) ≤ 0 时，f'(x) ≤ 0。也就是当 cos³(x) + 2sin²(x)*cos(x) 小于等于零时，f(x) 在该区间单调减少。
现在，我们来解 cos³(x) + 2sin²(x)*cos(x) ≤ 0：
2sin²(x)*cos(x) ≤ -cos³(x)
2sin²(x) ≤ -cos²(x)
由于 sin²(x) + cos²(x) = 1，我们有 sin²(x) = 1 - cos²(x)，代入上式得到：
2(1 - cos²(x)) ≤ -cos²(x)
2 - 2cos²(x) ≤ -cos²(x)
2 ≤ cos²(x)
因为 0 ≤ cos²(x) ≤ 1，所以不满足上式的条件。
因此，f'(x) 没有小于等于零的情况，也就是 f(x) 在整个定义域上都是单调增加的。
综上，函数 f(x) = x - sin(x)/cos²(x) 在其定义域上都是单调增加的，即它的单调区间为整个定义域。