Question

多元函数求最值，用拉格朗日方程做法？

为啥可以取y=0，得到x=±1这个点，怎么不取x=0，y=±1

Answer 1

当使用拉格朗日乘数法求解多元函数的最值时，通常需要考虑约束条件。拉格朗日乘数法的基本思想是引入一个拉格朗日乘子λ，将约束条件与目标函数结合成一个新的函数，然后通过求解该函数的极值点来得到最优解。
现在来解释为何要选择y=0而不是x=0的情况。假设我们的目标是求解一个带有约束条件 g(x,y) = 0 的函数 f(x,y) 的最值点。首先，我们将 f(x,y) 和 g(x,y) 合并成新的函数：
L(x,y,λ) = f(x,y) + λg(x,y)
其中，λ是拉格朗日乘子。
要找到 L(x,y,λ) 的极值点，我们需要对 x、y、λ 同时求导并令导数为 0。这将得到一组方程，称为拉格朗日方程。
解拉格朗日方程的过程中，我们可以找到整个解空间的所有点，而不仅仅是解空间的边界点。
当我们尝试解拉格朗日方程时，对于约束条件 g(x,y)=0 来说，无论选择什么样的变量作为约束条件，最终的解都会包括所有满足约束条件的解。
回到你的问题，如果要求函数 f(x,y) 在约束条件 g(x,y)=0 下的最值点，选择 y=0 是因为这样更容易进行计算和求解。实际上，如果你选择 x=0 或者 y=±1，也将会是拉格朗日方程的解。
总结起来，拉格朗日乘数法能够通过引入拉格朗日乘子λ，将约束条件与目标函数结合起来求解最值点。选择哪个变量作为约束条件和选择哪个解都是可以的，只要它们满足约束条件并且满足拉格朗日方程。这是因为拉格朗日乘数法在解空间中得到整个最值解的所有点，而不仅仅是边界点。由于计算和求解的便利性，通常会选择最容易计算的情况进行求解。

Answer 2

假设函数为f，约束条件为g，

函数梯度的概念

上面的公式是函数的梯度，函数的梯度是一个向量。

拉格朗日乘数法：

拉格朗日乘数法