Question

当-3≤x≤-1时,函数y=5x-1/4x+2的最小值为多少，用不等式法怎么算？

Answer 1

要求函数 y = 5x - 1 / (4x + 2) 在区间 -3 ≤ x ≤ -1 的最小值，我们可以使用不等式法来进行求解。

• 首先，观察函数 y = 5x - 1 / (4x + 2) 的定义域。注意到分母中有 4x + 2，因此要求 4x + 2 ≠ 0，即 x ≠ -1/2。因此，函数的定义域为 x ∈ (-∞, -1/2) ∪ (-1/2, +∞)。

• 其次，我们要找出函数在闭区间 [-3, -1] 内的极值点。首先求导函数 y 对 x 的导数：

y' = d/dx (5x - 1 / (4x + 2)) = 5 + (4/(4x + 2)^2)

然后，令 y' = 0，求出导数为零的点：

5 + (4/(4x + 2)^2) = 0

解方程可得：(4x + 2)^2 = -4

由于方程左边是一个平方，所以等式左边的值不会小于0，而右边是一个负数，因此在该定义域内，方程无解，即函数没有极值点。

• 接下来，我们需要考虑函数在区间的两个端点的取值。计算 y 在 x = -3 和 x = -1 两个点处的函数值：

当 x = -3 时：y = 5(-3) - 1 / (4(-3) + 2) = -15 - 1 / (-10) = -15 + 1/10 = -149/10 ≈ -14.9

当 x = -1 时：y = 5(-1) - 1 / (4(-1) + 2) = -5 - 1 / (-2) = -5 + 1/2 = -9/2 ≈ -4.5

• 最后，我们比较函数在闭区间 [-3, -1] 内的函数值和端点处的函数值，找出最小值：

函数的最小值在 x = -1 附近取得，即 y ≈ -4.5。

因此，函数 y = 5x - 1 / (4x + 2) 在 -3 ≤ x ≤ -1 的最小值为约为 -4.5。

Answer 2

为了用不等式法计算函数 y = (5x - 1) / (4x + 2) 在区间 -3 ≤ x ≤ -1 的最小值，我们可以遵循以下步骤：

• 首先，确定函数的定义域：由于分母不能为零，所以 4x + 2 ≠ 0，解这个不等式得到 x ≠ -1/2。因此，函数在给定区间的定义域为 -3 ≤ x < -1/2 和 -1/2 < x ≤ -1。

• 检查边界值：计算函数在定义域的端点处的值，并比较它们来找到最小值。

当 x = -3 时：
y = (5(-3) - 1) / (4(-3) + 2) = (-15 - 1) / (-12 + 2) = -16 / -10 = 8 / 5 = 1.6

当 x = -1/2 时：
y = (5(-1/2) - 1) / (4(-1/2) + 2) = (-5/2 - 1) / (-2 + 2) = (-7/2) / 0 = 无穷大

当 x = -1 时：
y = (5(-1) - 1) / (4(-1) + 2) = (-5 - 1) / (-4 + 2) = -6 / -2 = 3

因为函数在 x = -1/2 处的值为无穷大，所以我们只需比较 x = -3 和 x = -1 处的值来找到最小值。

• 比较结果：在端点处的值中，最小值为 1.6。

因此，函数 y = (5x - 1) / (4x + 2) 在区间 -3 ≤ x ≤ -1 的最小值为 1.6。