Question

求根公式在不等式中为什么要变号

Answer 1

求根公式是用来求解二次方程的根的公式，对于一元二次不等式，我们可以通过求解相应的二次方程来得到不等式的解集。
不等式的解集是满足不等式的所有实数的集合，而二次方程的根是方程的解。当我们使用求根公式求解二次方程时，会得到两个根，分别是x1和x2。
如果不等式的形式是ax^2 + bx + c > 0或者ax^2 + bx + c < 0，我们可以将二次方程的根代入不等式，然后判断不等式的符号。
如果二次方程的根x1和x2满足x1 < x2，那么我们可以将不等式写成(x-x1)(x-x2) > 0或者(x-x1)(x-x2) < 0的形式。这样的话，我们可以通过判断(x-x1)(x-x2)的符号来确定不等式的解集。
如果(x-x1)(x-x2) > 0，那么不等式的解集是(x1, x2)之外的实数集合。如果(x-x1)(x-x2) < 0，那么不等式的解集是(x1, x2)之间的实数集合。
因此，在不等式中使用求根公式是为了确定不等式的解集，而不等式的解集与二次方程的根之间存在变号的关系。

Answer 2

在不等式中使用求根公式时，需要注意的是求根公式只适用于非负实数。因此，当我们对不等式两边同时取平方根时，需要考虑到根号下的数值是否为非负实数。

如果不等式中的数值是非负实数，那么对不等式两边同时取平方根时，不需要改变不等式的方向。

但是，如果不等式中的数值是负数，那么对不等式两边同时取平方根时，需要注意到负数的平方根是虚数，不是实数。为了保持不等式的有效性，我们需要改变不等式的方向。

举个例子，假设有不等式 x^2 < 9，我们可以对不等式两边同时取平方根得到 |x| < 3。在这个例子中，由于平方根的结果是非负实数，所以不等式的方向没有改变。

但是，如果有不等式 x^2 > -9，我们同样可以对不等式两边同时取平方根得到 |x| > 3。在这个例子中，由于平方根的结果是非负实数，所以不等式的方向需要改变。

因此，在不等式中使用求根公式时，需要根据根号下的数值是否为非负实数来决定是否改变不等式的方向。