Question

已知a，b为正整数，且满足a+b/a^2+ab+b^2=4/49,求a+b

Answer 1

解：
(a+b)/(a²+ab+b²)=4/49
设a+b=4k
a²+ab+b²=49k （k是正整数）
则b=4k-a
那么：a²+ab+b²
=a²+a(4k-a)+(4k-a)²
=a²-4ka+16k²
=49k
即：a²-4ka+16k²-49k=0
a是正整数，则方程有正整数解
Δ=(4k)²-4(16k²-49k)
=196k-48k²
≥0
4k(49-12k)≥0
k≤49/12
而k是正整数
∴1≤k≤4
又∵a=(4k±√Δ)/2
且a为正整数
∴√Δ为整数
当k=1时，√Δ=2√37
当k=2时，√Δ=10√2
当k=3时，√Δ=2√39
当k=4时，√Δ=4
∴k=4
此时a=(4×4±4)/2
a=10 或 a=6
若a=10，则b=4×4-10=6
若a=6，则b=4×4-6=10
终上所述：a、b的值为10和6

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