Question

如图,O,A,B三点不共线,OC=2OA,OD=3OB，设OA=a,OB=b，AD,AE交于E点

在三角形OCD中,O,A,B三点不共线,OC=2OA,OD=3OB，设OA=a,OB=b
1.试用a,b表示向量OE
2.设线段AB，OE,CD的中点分别为L.M.N。求证L,M,N三点共线

Answer 1

设BE=mBC,DE=nDA (m,n都是常数）
BC=BO+OA=-b+2a
DA=-3b+a
DE-BE=DB
n(-3b+a)-m(-b+2a)=-2b
所以-3n+m=-2
n-2m=0
解得m=2/5,n=4/5
OE=OD+DE=3b+nDA=3b+4(-3b+a)/5=3b/5+4a/5
(2)用到一个性质：在三角形OAB中，边AB上一点C，有：OC=xOA+yOB ,x+y=1
OL=1/2OB+1/2OA=(a+b)/2
OM=OE/2=(3b+4a)/10
ON=(3b+2a)/2
在平面向量内，令OL=xOM+yON
(a+b)/2=(3xb+4xa)/10+(3yb+2ya)/2
1/2=3x/10+3y/2 (1)
1/2=4x/10+y (2)
解得y=x/5
x=5/6,y=1/6
x+y=1，所以共线

Answer 2

AD,AE交于A点吧？？不然图不对了。。。题目错了吧。-。-