Question

求助高手帮忙解一道高中数学题，多谢！

过抛物线y^2=2px (p>0)的定顶点O作互相垂直的弦OA,OB,求AB中点的轨迹方程。谢谢高手指教！

Answer 1

这个题可真有趣，需要一定的技巧。
设A(x1,y1),B(x2,y2)，则AB中点M(X,Y),其中：X=(x1+x2)/2,Y=(y1+y2)/2
依题，OA^2+OB^2=AB^2【勾股定理】，又
OA^2＝x1^2+y1^2
OB^2＝x2^2+y2^2
AB^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2
代入勾股定理，解得：x1x2+y1y2=0
y1^2/(2p)*y2^2/(2p)+y1y2=0
解得：y1y2=0(舍去)，y1y2=-4p^2
两边乘以2，再加上(y1^2+y2^2)
2y1y2+y1^2+y2^2=-8p^2+y1^2+y2^2
把y1^2=2px1和y2^2=2px2代入上式右侧
(y1+y2)^2=-8p^2+2px1+2px2
(2Y)^2=-8p^2+2p(2X)

Y^2=pX-2p^2【这就是答案】