Question

如果(f(x),g(x))=1,且f(x)|g(x)h(x),那么f(x)|h(x).这条定理怎么证明？

书上的证明是:
由(f(x),g(x))=1可知,有u(x),v(x)使
u(x)f(x)+v(x)g(x)=1.
等式两边乘h(x),得
u(x)f(x)h(x)+v(x)g(x)h(x)=h(x),
因为f(x)|g(x)h(x),所以f(x)整除等式左端,从而
f(x)|h(x).

为什么"因为f(x)|g(x)h(x),所以f(x)整除等式左端"?

Answer 1

等式左端是两项的和：u(x)f(x)h(x)和v(x)g(x)h(x)。显然f(x)整除第一项；由条件f(x)整除g(x)h(x)可知f(x)整除v(x)g(x)h(x)，即第二项。所以f(x)整除两项的和，即等式左端。

或者：

由f(x)|g(x)h(x)，可设g(x)h(x)=w(x)f(x)，所以等式左端
=u(x)f(x)h(x)+v(x)g(x)h(x)
=u(x)f(x)h(x)+v(x)w(x)f(x)
=f(x)[u(x)h(x)+v(x)w(x)]，
所以被f(x)整除。