Question

线性代数的线性方程组通解问题

设n阶矩阵A的各行元素之和均为0，且R(A)=n-1,则线性方程组Ax=0的通解为？为什么？谢谢
最后的答案是k（1,1,k,1)^T,k为任意实数，这是什么意思？ 是说只要表示Ax=0的无穷多解就用这种固定形势？

Answer 1

A的秩为n-1<n(方程未知数的个数)
故线性方程组Ax=0有无穷多解
答案是k（1,1,k,1)^T，k为任意实数，说明，当k每取一个实数时，即有一个解，再取一个实数，又形成一个解，由于k为任意实数可取无数的K值，故k（1,1,k,1)^T可以表示Ax=0的无穷多解，即线性代数中的术语---基础解系

是的，无穷多解就用这种固定形式，但是题不同，向量（1,1,k,1)^T也会不同，而且有时是两个或两个以上，（它的个数=方程未知量的个数-秩），但最终都有K这个任意常数，向量有几个，就有几个K，分别记作K1，K2...

Answer 2

因为A的秩为n-1，方程组AX=0的解空间是一维的{n-R(A)=1}。由n阶矩阵A的各行元素之和均为零，得（1,1，。。。，1）^T是一个非零解（就是基础解系）。通解X=C（1,1，。。。，1）^T

Answer 3

要证明这个题，要深刻的理解行列式展开定理。
行（列）每一个元素*同一行（列）的代数余子式=|a|
行（列）每一个元素*不同行（列）的代数余子式=0
又|a|=0，
因此所给的那个列向量是第i行的代数余子式，带入原齐次线性方程组，肯定每一行都是0，因此首先是原来的解！
又存在一个元素的代数余子式aij不为0，说明所给的那个列向量是非零的，
根据基础解析的定义，上述两条确定了，所给的那个列向量是基础解析

Answer 4

A的秩为n-1<n(方程未知数的个数)
故线性方程组Ax=0有无穷多解
答案是k（1,1,k,1)^T，k为任意实数，说明，当k每取一个实数时，即有一个解，再取一个实数，又形成一个解，由于k为任意实数可取无数的K值，故k（1,1,k,1)^T可以表示Ax=0的无穷多解，即线性代数中的术语---基础解系
是的，无穷多解就用这种固定形式，但是题不同，向量（1,1,k,1)^T也会不同，而且有时是两个或两个以上，（它的个数=方程未知量的个数-秩），但最终都有K这个任意常数，向量有几个，就有几个K，分别记作K1，K2...