Question

若关于x的不等式2-x^2>|x-a|至少有一个负数解,则a的取值范围是？

答案是-2<a<2
请写出过程最好能详细些

Answer 1

数学上有一种方法叫“正难则反”，我们不妨考虑问题的反面，至少有一个负数解是说解集中至少有一个负数。那么它的反面就是 一个负数解也没有，即它的解集为非负数或无解，以下运用数形结合即可。
在同一坐标系内作出函数y1=2-x^2 , y2=| x - a | 的图像，y=|x-a|的图像类似一个直角（以(a,0)为顶点，两条边分别与x轴正负半轴夹角为45°， 由于y1图像固定，我们只要沿x轴“平移” y2的图像即可改变a值，也就是改变解集的范围。
1，若a<=0 ，此时若有解，则必有一个负数解，若要满足解集为非负数或无解，这只能是无解，“平移”图像，至极限位置---两图像有唯一焦点，此时恰好是y=|x-a|的图像的右半支y=x-a与y1图像有一个交点，也就是 x-a = 2-x^2有唯一解，令Δ=0，解得a= - 9/4,故只要
a< =-9/4,就能保证原不等式无解
2，若a>0,若要满足解集为非负数或无解，只要保证y2=| x-a | 图像的左支与y1图像的交点落在XOY平面的正半平面即可，极限交点位置是抛物线y2=2-x^2的顶点（0.2），|令x=0，求的
a=2，故只要将y2=|x-a| 图像沿自己“顶点”（2,0）向右平移，即可满足条件。
此时对应 a>= 2
综上所述，若要原不等式 解集为非负数或无解 ，a的取值范围是a<=-9/4或a>=2
而原命题要求的是反面情况，故对解集取补集即可，
关于x的不等式2-x^2>|x-a|至少有一个负数解,则a的取值范围是{ a| -9/4 < a< 2 }

Answer 2

2-x^2>|x-a|至少有一个负数解
整理得
{x²+x-a-2<0,x>=a
{x²-x+a-2<0,x<a
(画出草图,结合图像)
(1)当a>=0时,至少有一个负数解
则有:当x=0时,x²-x+a-2<0,a<2
(2)当a<0时,
有:当x=0时,x²+x-a-2<0
a>-2
综合(1)(2)得:-2<a<2