Question

一道高中数学不等式的题

已知a＋b＋c＝1,求证:a^2＋b^2＋c^2≥1／3.

写一下详细过程，
谢啦！

Answer 1

因为不等式a^2＋b^2＋c^2≥1／3等价于不等式
a^2＋b^2＋c^2≥（a+b+c）ˆ2／3,即3（a^2＋b^2＋c^2）≥a^2＋b^2＋c^2+2ab+2ac+2bc即2（a^2＋b^2＋c^2）≥2ab+2ac+2bc
而a^2＋b^2≥2ab a^2＋c^2≥2ac b^2＋c^2≥2bc
所以2（a^2＋b^2＋c^2）≥2ab+2ac+2bc。

Answer 2

(a+b+c)×（a+b+c）=1×1=1
拆开得 a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=1
由基本不等式 a^2+b^2》2ab 得 3a^2+3b^2+3c^2》1
所以 a^2+b^2+c^2》1／3