Question

求不定积分

详细过程 谢谢

Answer 1

不定积分概念
在微分学中我们已经知道，若物体作直线运动的方程是s=f(t)，
已知物体的瞬时速度v=f(t)，要求物体的运动规律s=f(t)。这显然是从函数的导数反过来要求“原来函数”的问题，这就是本节要讨论的内容。
定义1
已知f(x)是定义在某区间上的函数，如果存在函数f(x)，使得在该区间内的任何一点都有：
那么在该区间内我们称函数f(x)为函数f(x)的原函数。
当然，不是任何函数都有原函数，在下一章我们将证明连续函数是有原函数的。假如f(x)有原函数f(x)，那么f(x)+
c也是它的原函数，这里c是任意常数。因此，如果f(x)是原函数，它就有无穷多个原函数，而且f(x)+
c包含了f(x)的所有原函数。
事实上，设g(x)是它的任一原函数，那么
根据微分中值定理的推论，
h(x)应该是一个常数c，于是有
g(x)=
f(x)+
c
这就是说，f(x)的任何两个原函数仅差一个常数。
定义2
函数f(x)的全体原函数叫做f(x)的不定积分，记作
其中∫叫积分号，f(x)叫做被积函数，f(x)
dx叫做被积表达式，x叫做积分变量。
如果f(x)是f(x)的一个原函数，则由定义有
其中c是任意常数，叫做积分常数。
求原函数或不定积分的运算叫做积分法。

Answer 2

求不定积分的方法
换元法
换元法（一）：设f(u)具有原函数F(u)，u=g(x)可导，那末F[g(x)]是f[g(x)]g'(x)的原函数.
即有换元公式:
例题：求
解答：这个积分在基本积分表中是查不到的，故我们要利用换元法。
设u=2x，那末cos2x=cosu，du=2dx，因此：
换元法（二）：设x=g(t)是单调的，可导的函数，并且g'(t)≠0，又设f[g(t)]g'(t)具有原函数φ(t)，
则φ[g(x)]是f(x)的原函数.(其中g(x)是x=g(t)的反函数）
即有换元公式:
例题：求
解答：这个积分的困难在于有根式，但是我们可以利用三角公式来换元.
设x=asint(-π/2

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Answer 3

这是个很好的练习机会，呵呵~，注意4条都要用到分部积分法，运用得宜很好做的，第3条用到反三角函数代换法。
【1】∫xtan²xdx
=∫x(sec²x-1)dx=∫(xsec²x-x)dx
=∫xsec²xdx-∫xdx
=∫xd(tanx)-∫xdx
=xtanx-∫tanxdx-∫xdx
=xtanx+ln|cosx|-(1/2)x²+C
【2】∫e^xsinxdx=∫sinxd(e^x)
=e^xsinx-∫e^xd(sinx)
=e^xsinx-∫e^xcosxdx
=e^xsinx-∫cosxd(e^x)
=e^xsinx-[e^xcosx-∫e^xd(cosx)]
=e^xsinx-[e^xcosx+∫e^xsinxdx]
=e^xsinx-e^xcosx-∫e^xsinxdx
∵2∫e^xsinxdx=e^xsinx-e^xcosx
∴∫e^xsinxdx=(1/2)e^x(sinx-cosx)
【3】∫arctan√xdx,令u=√x,2udu=dx
=∫arctanu*2udu=2∫uarctanudu
=2∫arctanud(1/2*u²)
=u²arctanu-∫u²d(arctanu)
=u²arctanu-∫[u²/(u²+1)]du
=u²arctanu-∫[(u²+1-1)/(u²+1)]du
=u²arctanu-[∫du-∫(1/(u²+1))du],在最右边的积分，令u=tanf，du=sec²fdf
=u²arctanu-∫du+∫[sec²f/(tan²f+1)]df
=u²arctanu-u+f+C
=u²arctanu-u+arctanu+C
=xarctan√x-√x+arctan√x+C
=(x+1)arctan√x-√x+C
【4】∫(lncosx/cos²x)dx
=∫(lncosx)sec²xdx
=∫lncosxd(tanx)
=tanx(lncosx)-∫tanxd(lncosx)
=tanx(lncosx)-∫tanx[1/cosx*(-sinx)]dx
=tanx(lncosx)+∫tan²xdx
=tanx(lncosx)+∫(sec²x-1)dx
=tanx(lncosx)+tanx-x+C

Answer 4

问题补充的解答过程：
原式=-∫y^2d(e^(-y))
=-y^2e^(-y)+2∫ye^(-y)dy
=-y^2e^(-y)-2∫yd(e^(-y))
=-y^2e^(-y)-2ye^(-y)+2∫e^(-y)dy
=(-e^(-y))(y^2+2y+2)+C
％％％％％％％
原式=-∫xd[e^(-2x)]
=-xe^(-2x)+∫e^(-2x)dx
=-xe^(-2x)-(1/2)e^(-2x)+C

Answer 5

∫x[e^(x^2)
-e^x
]
dx
=∫x.e^(x^2)dx
-∫x.e^x
dx
=(1/2)e^(x^2)
-
∫x
de^x
=(1/2)e^(x^2)
-
x.e^x
+∫e^x
dx
=(1/2)e^(x^2)
-
x.e^x
+e^x
+C