Question

设函数f(x)=ax^3+bx+c(a≠0)为奇函数

已知函数f(x)=ax^3+bx+c(a≠0)为奇函数，其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直,f(x)的导数f(x)'的最小值为-12.求:
(1)a,b,c的值.
(2)函数f(x)在[-1,3]上的最大值与最小值.
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Answer 1

解：
(1)定义域是R
那么f(0)=c=0
所以f(x)=ax^3+bx
f′(x)=3ax^2+b
因为其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直
所以f′(1)=-6
所以3a+b=-6
因为f(x)的导数f′(x)的最小值为-12
所以a>0 b=-12
所以a=2 b=-12 c=0

(2)f(x)=2x^3-12x
f′(x)=6x^2-12
令f′(x)=0得x=±√2
在[-1,3]内的是√2
f(-1)=10
f(√2)=-8√2
f(3)=30
所以函数f(x)在[-1,3]上的最大值是30，最小值是-8√2