Question

一道简单的微分方程题

设边值问题，y"+ay=0,y(0)=y(1)=0,讨论λ取值，使方程有非零解。
请知道的朋友帮忙写一下解题过程，谢谢！

Answer 1

（这里的a就是λ吧）
考虑y"+ay=0的特征方程t^2+a=0，有三种情况：
(1)a<0，此时特征方程有两个实根±√(-a)，所以微分方程的通解为y=c1*exp(x√(-a))+c2*exp(-x√(-a))，c1,c2为任意常数。由边值条件y(0)=0知c1+c2=0；由y(1)=0知c1*exp(√(-a))+c2*exp(-√(-a))=0。易解得c1=c2=0，所以此时边值问题只有零解。
(2)a=0，此时特征方程有二重实根0，所以微分方程的通解为y=c1+c2*x，c1,c2为任意常数。由边值条件y(0)=0知c1=0；由y(1)=0知c1+c2=0。易解得c1=c2=0，所以此时边值问题只有零解。
(3)a>0，此时特征方程有两个虚根±i√a，所以微分方程的通解为y=c1*sin(x√a)+c2*cos(x√a)，c1,c2为任意常数。由边值条件y(0)=0知c2=0；由y(1)=0知c1*sin(√a)+c2*cos(√a)=0。有两种情况：
(i)sin(√a)≠0，则可解得c1=c2=0，所以此时边值问题只有零解；
(ii)sin(√a)=0，则解为c2=0,c1为任意常数。所以此时边值问题的解为y=c1*sin(x√a),c1为任意常数。

综上所述，原边值问题有非零解当且仅当a>0且sin(√a)=0，即a=(kπ)^2,k为整数,k≠0。

Answer 2

（这里的a就是λ吧）
考虑y"+ay=0的
特征方程
t^2+a=0，有三种情况：
(1)a<0，此时特征方程有两个实根±√(-a)，所以微分方程的通解为y=c1*exp(x√(-a))+c2*exp(-x√(-a))，c1,c2为任意常数。由边值条件y(0)=0知c1+c2=0；由y(1)=0知c1*exp(√(-a))+c2*exp(-√(-a))=0。易解得c1=c2=0，所以此时边值问题只有零解。
(2)a=0，此时特征方程有二重实根0，所以微分方程的通解为y=c1+c2*x，c1,c2为任意常数。由边值条件y(0)=0知c1=0；由y(1)=0知c1+c2=0。易解得c1=c2=0，所以此时边值问题只有零解。
(3)a>0，此时特征方程有两个虚根±i√a，所以微分方程的通解为y=c1*sin(x√a)+c2*cos(x√a)，c1,c2为任意常数。由边值条件y(0)=0知c2=0；由y(1)=0知c1*sin(√a)+c2*cos(√a)=0。有两种情况：
(i)sin(√a)≠0，则可解得c1=c2=0，所以此时边值问题只有零解；
(ii)sin(√a)=0，则解为c2=0,c1为任意常数。所以此时边值问题的解为y=c1*sin(x√a),c1为任意常数。
综上所述，原边值问题有非零解当且仅当a>0且sin(√a)=0，即a=(kπ)^2,k为整数,k≠0。

Answer 3

依题意得方程：y'-3y=3
即dy/dx=3(y+1)
dy/(y+1)=3dx
积分得：ln|y+1|=3x+c1
即y+1=ce^(3x)
代入(2,0)得：0+1=ce^6,
得c=e^(-6)
所以有y=e^(3x-6)-1