Question

大学数学题(最大似然估计),高手帮帮忙,高分！~~速度解决。

设总体X服从参数为λ的普阿松分布(泊松分布),它的分布律为:
P(X=x)=[(λ^x)/(x!)]·[e^(-λ)],x=0,1,2 ……。
X1,X2,…,Xn是取自总体X的样本。
试求参数λ的最大似然估计量。
回一楼，我是要最大似然估计量啊，不是矩估计量！

Answer 1

首先写出似然函数L
L=∏ p(xi)=∏{[(λ^xi)/(xi!)]·e^(-λ)}=e^(-nλ）·∏{[(λ^xi)/(xi!)]
=e^(-nλ）·λ^（∑xi)·∏1/(xi!)
然后对似然函数取对数并求导(对估计值λ求导）
lnL=ln{e^(-nλ）·λ^（∑xi)·∏1/(xi!)}=-nλ+lnλ∑xi+∑ln(1/(xi!))
dlnL/dλ= -n+(∑xi)/λ
令导数等于0
-n+(∑xi)/λ=0
解似然方程求出似然估计值~λ
(∑xi)/λ=n
~λ=(∑xi)/n
即为所求似然估计值
做极大似然估计题一般就分这4步
1 写出似然函数
2 对似然函数取对数
3 对似然函数的对数求导
4 令导数等于0并据此解出似然估计值

Answer 2

X服从参数为λ的泊松分布,EX=λ.
把EX换成一阶样本矩Xˉ，即得矩估计量为λ^=Xˉ.

Answer 3

极大似然估计量貌似也是Xˉ
P(X=1)*P(X=2)*...P(X=n)=λ^（X1+X2+X3+...+Xn）e^(-λ)/X1!*X2!*X3!...Xn！
对上式去ln可得
（X1+X2+X3+...+Xn）Lnλ-(LnX1+LnX2+LnX3+....LnXn)-nλ
对上式求导
（ X1+X2+X3+...+Xn）/λ-n=0
故极大似然估计量λ^=Xˉ

概率与统计考过半学期了，有的都忘了，就这个思路解应该没错，书上应该有类似的题。

Answer 4

P=Multiple(i=1,n) [(λ^xi)/(xi!)]·[e^(-λ)]

L=lnP=sum(i=1,n) ln[(λ^xi)/(xi!)]·[e^(-λ)]
=-nλ+[sum(i=1,n)xi] lnλ -sum(i=1,n)ln(xi!)
求导 dL/dλ=0 ==> -n+[sum(i=1,n)xi]/λ=0
λ=[sum(i=1,n)xi]/n
d(dL/dλ)/dλ=-sum(i=1,n)λ^(-2)xi <0 ==>极大量
参数λ的极大似然估计量λ=[sum(i=1,n)xi]/n