Question

如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°.BE平分∠ABC，DF平分∠ADC,BE和DF有什么位置关系，为什么?

Answer 1

平行

∵∠A = ∠C = 90°，四边形内角和=360°
∴∠ABC + ∠ADC = 180°
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC
∴2∠ABE+2∠FDE = 180°
∴∠ABE+∠FDE = 90°
∵∠A =90°
∴∠ADF+∠AFD =90°
∵FD平分∠ADC
∴∠ADF = ∠FDE
∴∠AFD = ∠ABE
∴FD//BE

Answer 2

BE‖DF，理由如下：
四边形ABCD中由∠A+∠C=180°，
∴∠B+∠D=180°，
∵BE，CF分别平分∠ABC，∠ADC，
∴∠ABE+∠CDF=90°（1），
由∠ADF+∠AFD=90°，
且∠CDF=∠ADF，
∴∠ABE=∠AFD，
即BE‖DF。
证毕。

Answer 3

解：（1）∠1+∠2=90°；
∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，
∴∠1=∠ABE，∠2=∠ADF，
∵∠A=∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴2（∠1+∠2）=180°，
∴∠1+∠2=90°；
（2）BE∥DF；
在△FCD中，∵∠C=90°，
∴∠DFC+∠2=90°，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠DFC，
∴BE∥DF．

Answer 4

BE平行于DF
设角abe为角1，ebc为角2，adf为角3，fbc为角4，dfc为角5
那么角1+角2+角3+角4=180度
因为BE平分∠ABC，DF平分∠ADC
所以，角1=角2，角3=角4
又因为，角1=角2，角3=角4
所以，2角1+2角4=180度
化简为，角2+角4=90度
又因为角C=90度，
所以，角4+角5=90度
所以，角2=角5（同角、等角的余角相等）
因为角2=角5
所以，be平行于df(两直线平行，同位角相等）