Question

高中导数问题~

已知函数f(x)=-x^3+ax^2+bx+c在（负无穷，0）上是减函数，在（0,1）上是增函数，函数f(x)在R上有三个零点，且1是其中一个零点。
（1）求b的值；
（2）求f(2)的取值范围；
（3）试探究直线y=x-1与函数y=f(x)的图像交点个数的情况，并说明理由。

重点第二第三问，详细过程，非常感谢！！！！~

Answer 1

(1)求导f'(x)=-3x^2+2ax+b，易得当x=0时，f'(x)=0,所以b=0
(2)因为f(1)=0,所以-1+a+c=0,a+c=1,由题意可知，f(x)的极大值大于0极小值小于0，当f'(x)=0时，x=0或2a/3,且当x=0时，f(x)有极小值，当x=2a/3时，f(x)有极大值，
所以1-a<0,4a^3/27-a+1>0
你是不是看错了？第二个不等式解不出来的。
(3)设g(x)=x-1-f(x)=x-1+x^3-ax^2-bx-c=x^3-ax^2+x-1-c
g'(x)=3x^2-2ax+1
当4a^2-12<=0时，a属于[负根号3，正根号3]，此时g'(x)>=0恒成立，g(x)为单调增函数且值域为(负无穷，正无穷)，所以零点为1个。
当4a^2-12>0时，接下来就是根据g'(x)的根的情况判断g(x)的单调性与极值，然后可以得出零点的个数，道理很简单，但打起来较复杂，你可以自己推一下，应该有三种情况，分别有1,2，3个交点。