Question

高中数学难题 高手进

1.求所有函数f：R→R，满足方程f（x^2+y^2+2f(xy))=(f(x+y))^2,其中x，y为任意实数。
2.设R*为由非零实数构成的集合，求所有函数f：R*→R*，使得对所有的x，y∈R*，y≠-x^2，有f（x^2+y）=f^2（x）+[(f(xy))/(f(x))]
3.已知△ABC，点X是直线BC上的动点，且点C在点B和X之间，又△ABX和△ACX的内切圆有两个不同的交点P和Q，求证：PQ经过一个不依赖于点X的定点
4.已知正整数列a1，a2，……满足a（下标n+1）=1/（a1+a2+……+an）,其中，n∈N，求lim（下标n→∞）√na（下标n）
答出来的我再追加100分

Answer 1

假设f(x)=常数c

代入，c=c^2 推出c=0 、c =1

假设f(x)=ax+b(a不等于0)

代入，f(x^2+y^2+2axy+b)=(a(x+y)+b)^2

a(xx+yy+2axy+b)x+b=aa(x+Y)^2+bb+2ab(x+y)

对比同项系数 推出a=1 b=0

然后同理，代入对比同类项，无解，证明不存在二次及以上解

Answer 2

第一问：http://wenku.baidu.com/view/d1f137768e9951e79b892787.html
代数部分的第六题
后面几问过两天做出来再给你答复

Answer 3

难啊！