Question

求高手解答 证明对任意正整数n，不等式ln（1/n + 1）>1/n^2 +1/n^3 注：^2是平方 ^3是三次方

拜托了 最好详细些 主要是运算出结果 关键步骤请指出 谢谢
修改一下 是 1/n^2 -1/n^3 抱歉

Answer 1

证明：
构造函数f(x)=ln(x+1)-x^2+x^3，(x>0)
而f'(x)=1/(x+1)-2x+3x^2=(3x^3+x^2-2x+1)/(x+1)=[3x^3+(x-1)^2]/(x+1)
由于x>0，则f'(x)>0显然成立。于是f(x)在(0,+∝)上单调递增。

于是f(x)>f(0)=0
上式也即ln(x+1)>x^2-x^3

而1/n>0
因此上式取x=1/n也成立。
于是ln(1/n+1)>1/n^2-1/n^3是成立的。

得证。。