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证明:
(1)当0<x<1时,x-1<0,则原不等式两边同时除以x-1,等价于:(x+1)lnx<=x-1
<=>lnx<=(x-1)/(x+1)
<=>lnx-(x-1)/(x+1)<=0
构造函数f(x)=lnx-(x-1)/(x+1),f'(x)=1/x-2/(x+1)^2=(x^2+1)/(x+1)^2>0
于是f(x)在(0,1)上单调递增,于是f(x)<f(1)=0
即当0<x<1时(x^2-1)lnx>=(x-1)^2成立。
(2)当x=1时,该不等式即为0<=0显然成立。
(3)当x>1时,不等式两边同时除以x-1,等价于(x+1)lnx>=(x-1)
<=>lnx>=(x-1)/(x+1)
<=>lnx-(x-1)/(x+1)>=0
仍然可构造(1)中的函数f(x)=lnx-(x-1)/(x+1),也知f'(x)=(x^2+1)/(x+1)^2>0
f(x)在(1,+∞)也单调递增。于是f(x)>f(1)=0
即当x>1时,(x^2-1)lnx>=(x-1)^2成立。
综合(1)(2)(3)知(x^2-1)lnx>=(x-1)^2对x>0都成立。
(1)当0<x<1时,x-1<0,则原不等式两边同时除以x-1,等价于:(x+1)lnx<=x-1
<=>lnx<=(x-1)/(x+1)
<=>lnx-(x-1)/(x+1)<=0
构造函数f(x)=lnx-(x-1)/(x+1),f'(x)=1/x-2/(x+1)^2=(x^2+1)/(x+1)^2>0
于是f(x)在(0,1)上单调递增,于是f(x)<f(1)=0
即当0<x<1时(x^2-1)lnx>=(x-1)^2成立。
(2)当x=1时,该不等式即为0<=0显然成立。
(3)当x>1时,不等式两边同时除以x-1,等价于(x+1)lnx>=(x-1)
<=>lnx>=(x-1)/(x+1)
<=>lnx-(x-1)/(x+1)>=0
仍然可构造(1)中的函数f(x)=lnx-(x-1)/(x+1),也知f'(x)=(x^2+1)/(x+1)^2>0
f(x)在(1,+∞)也单调递增。于是f(x)>f(1)=0
即当x>1时,(x^2-1)lnx>=(x-1)^2成立。
综合(1)(2)(3)知(x^2-1)lnx>=(x-1)^2对x>0都成立。
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