Question

趣味数学题

将一个数的各位数字相加得到新的一个数称为一次操作，
经连续若干次这样的操作后可以变为6的数称为“好数”，
那么不超过2012的“好数”的个数为 223 ，
这些“好数”的最大公约数是?

Answer 1

分析：这道题乍看起来很难求解，学生一看到这道题会直接想到用“列举法”来做。先不说这种做法的可行性，列举的过程很费事，因为你也不知道自己在列举的过程中会不会将中间的数字遗漏。比如当时我做这一步的时候就写100以内符合题意的数时列举了一下数字：

6、15、24、33、42、51、60。后来一检查才发现我已经将一百内的数字遗漏了，如69、78、87、96这些要进行两次操作的数也是可以的。

100以内的数字都这么麻烦，等遇到更大的数时出错率岂不是更高，所以想要将这些数字一一列举的方法行不通。

那么怎样才能不重不漏的把所有符合题意的数字找出来呢？

我们再回过头来看看前面列举的那一串的数字，你会发现前后相挨得数字差是9，那么这到底是不是一种规律呢？我们找来任意满足这个条件的数字试一下，比如96后应该是105=96+9，105做第一次操作可得1+0+5=6，满足条件所以它是“好数”。

再往后找一个114=105+9，114进行第一次操作1+1+4=6，也是一个好数。

也就是说我们的推断是正确的，那么规范的证明是什么呢？

总结这些数字我们发现它们都包含在一个9n+6得公式中。怎么验证9n+6中的数字都是好数呢？

我们假设A =1000a+100b+10c+d（a小于等于2，b、c、d是0——9之间的任意一个数）满足9n+6的公式并且也是一个好数，那么可以得到a+b+c+d经过若干次的操作后结果应该是6，A的后一位应该是B=A+9=1000a+100b+10c+d+9,各个数字相加为a+b+c+d+9，，其中前三项进行若干次运算后可得到结果为6，然后再和9相加，结果为15，再进行一次操作，结果即变为6，这就说明B也是好数。

也就是说满足9n+6的数字都是好数。

而这样的数在2012内共有1+（2010-6）/9=223个。

同时上面的证明也可以用来说明9n+8、9n+7、9n+5、9n+4……是不可以的。

我们可以举个例子，如9n+8，假设A1 =1000a+100b+10c+d是一个好数且满足公式9n+8，那么a+b+c+d经若干次运算后可以使结果为6，现在假设B1=A1+8=1000a+100b+10c+d+8，

各个数字相加为a+b+c+d+8，前四个数字经过若干次运算后结果应为6，然后与8相加，即如果为14.再进行一次操作，结果是5。也就是说满足9n+8的数不是好数，同理9n+7、9n+5、9n+4……的数也不是好数。

然后我们再来考虑一下8n+6、7n+6、6n+6、5n+6……为什么不可以？

证明方法与上面类似：假设公式用的是8n+6、8n+6

首先我们知道6是符合题目要求的，但是第二个数字14就不可以了。

现在假设8n+6中有一个数A3=1000a+100b+10c+d是好数，那么a+b+c+d经若干次运算后可以使结果为6。现在假设B3=A3+8=1000a+100b+10c+d+8，同理可以得到6+8=14，再进行一次操作得到结果为5，也就是说如果前面的一个数不是好数，后面紧挨的数也不是好数，我们已经知道这个公式中的第二个数已经不是好数了，所以公式中的所有数都不应该是好数。

依次类推，7n+6、6n+6、5n+6……也都不是好数（n大于等于1）

总结：做到这一步，我们再来看题目中的第二问就会简单很多，既然所有的好数都是9n+6中的数，那么它们的公约数就应该是3

Answer 2

解：
“好数”实际上是对于模9同余6的数,
因此在1~2012中共有（2012-5）÷9=223个
所有好数都是3的倍数，参照第一第二个好数6、15可得，
最大公约数只能为3

Answer 3

是3.

易得第1、2个好数为6和15，它们的最大公约数为3，
又由条件得好数经过若干次操作后变为6，得好数的各位数字之和必为3的倍数，即3是所有好数的公约数。
所以3是所有好数的最大公约数。

Answer 4

列举几个“好数”：6，15,24,33,42,51,60，最大公约数是3，这些“好数”的最大公约数是3

Answer 5

蛮难
我猜是6