Question

一道因式分解

轮换法做因式分解（x+y+z）5－（y+z－x）5－（z+x－y）5－（x+y－z）5

Answer 1

=5(x+y+z-y-z+x-z-x-y-x-y+z)
=-5y

Answer 2

（x+y+z）5－（y+z－x）5－（z+x－y）5－（x+y－z）5
解：原式=5（x+y+z-y-z+x-z-x+y-x-y+z）
=5 y

Answer 3

x=0时,(x+y+z)^5－(y+z－x)^5－(z+x－y)^5－(x+y－z)^5＝0
∴有因式x，以及它的同型式y和z.
∵原式是五次齐次轮换式，除以三次轮换式xyz，其商是二次齐次轮换式.
∴用待定系数法：
可设(x+y+z)^5－(y+z－x)^5－(z+x－y)^5－(x+y－z)^5
＝xyz[m(x+y+z)+n(xy+yz+zx)]
令x=1,y=1,z=1 .比较左右两边系数， 得80=m+n；
令x=1,y=1,z=2. 比较左右两边系数， 得480=6m+n
解得m=80，n=0
(x+y+z)^5－(y+z－x)^5－(z+x－y)^5－(x+y－z)^5=80xyz(x+y+z)