Question

设n阶矩阵A的伴随矩阵A*不等于0，ξ1,ξ2,ξ3,ξ4是非齐次线性方程组AX=b的互不相等的解

设n阶矩阵A的伴随矩阵A*不等于0，ξ1,ξ2,ξ3,ξ4是非齐次线性方程组AX=b的互不相等的解

则 为什么对应的齐次线性方程组AX=0的基础解系 仅有一个非零向量？

Answer 1

这等价于证明AX=0的解空间null(A)的维数是1，从而等价于证明A的秩rank(A)=n-1（因为rank(A)+dim null(A)=n。不同书上用的记号可能不一样）。

由条件知非齐次线性方程组AX=b的解不唯一，所以A不可逆/不满秩，即rank(A)<n；

假设rank(A)<=n-2，则由秩的定义知A的任意n-1阶子矩阵的行列式为零（因为n-1>rank(A)）。特别地，A中任意元素的余子式等于0，所以A*=0。与条件矛盾。所以必有rank(A)>n-2。

综合即知rank(A)=n-1。证毕