Question

微积分、应用题，急

∫dx/根号下（X²+1）
∫XcosXdx
∫XcotXdx
∫sinX/(1-cosX)dx
lim X趋向于无穷 [ln(1+X)-lnX]/X
要过程，谢谢
某海军基地，距陆地直线距离9KM，距离岸边的司令部 3又根号34 KM，知步行5KM/H,小船划行4KM/H，问，在何处登岸，到达司令部的时间最短。
过程，谢谢

急，在线等

Answer 1

1)∫dx/√(x²+1),令x=tanQ,dx=sec²QdQ
=∫sec²QdQ/√(1+tan²Q)
=∫sec²QdQ/√sec²Q
=∫secQdQ
=ln|secQ+tanQ|+C
由于已设x=tanQ,根据直角三角形,
secQ=√(1+x²)/1=√(1+x²)
于是原式=ln|x+√(1+x²)|+C

2)∫xcosxdx,施展分部积分法
=∫xd(sinx)
=xsinx-∫sinxdx
=xsinx-(-cosx)+C
=xsinx+cosx+C

3)∫xcotxdx
=∫xd[ln|sinx|]
=xln|sinx|-∫ln|sinx|dx
由于∫ln|sinx|dx的解是特殊函数,故不做解释

4)∫sinxdx/(1-cosx)
=∫d(-cosx)/(1-cosx)
=∫d(cosx-1)/(cosx-1)
=ln|cosx-1|+C

5)lim[x→∞] [ln(1+x)-lnx]/x
=lim[x→∞] ln[(1+x)/x]/x,令t=1/x,t→0
=lim[t→0] tln[t(1+1/t)]
=lim[t→0] ln[(1+t)^t]
=ln[lim[t→0] (1+t)^(1/t)*t²]
=lne*lim[t→0] t²
=1*0
=0
用洛必达法则也可以:
lim[x→∞] [ln(1+x)-lnx]/x
=lim[x→∞] 1/(x+1)-1/x,代入数值
=1/(∞+1)-1/∞
=1/∞
=0

6)设登岸位置为(D),
先用勾股定理求出距离海军基地(A)9km的陆地(B)位置与司令部(C)位置的距离:
=√[(3√34)²-9²]
=15km
经画图确立三地位置构成直角三角形
设陆地位置(B)和登岸位置(D)之间的距离为x:
在水中,路径AD距离=√(9²+x²)=√(81+x²)
所需时间为(1/4)√(81+x²)
在陆地,路径DC距离=15-x
所需时间为(1/5)(15-x)
得出时间与距离关系式:f(t)=(1/4)√(81+x²)+(1/5)(15-x),为从(A)地到(C)地所需时间
求导f'(t)=x/[4√(81+x²)]-1/5
解f'(t)=0就得到极值
x/[4√(81+x²)]-1/5=0
5x=4√(x²+81)
25x²=16x²+1296
x²=144
x=12或-12(舍去)
∴在x=12时得到极小值.
f(12)=(1/4)√(81+12²)+(1/5)(15-12)
=15/4+3/5
=4.35
∴到达司令部的最短时间是4.35小时.

Answer 2

∫dx/根号下（X²+1）=ln[x+根号(x^2+1)]+C（这个直接就是一个不定积分的公式）

∫XcosXdx=∫xdsinx=xsinx-∫sinxdx=xsinx+cosx+C

∫XcotXdx=这个题目是不定积分就解不出来，定积分还能求

∫sinX/(1-cosX)dx=∫dcosx/(cosx-1)=∫d(cosx-1)/(cosx-1)=ln(cosx-1)+C

lim X趋向于无穷 [ln(1+X)-lnX]/X
洛贝达法则=1//(1+x)-1/x=-1/x(x+1)=0

某海军基地，距陆地直线距离9KM，距离岸边的司令部 3又根号34 KM，知步行5KM/H,小船划行4KM/H，问，在何处登岸，到达司令部的时间最短。

解：假设在距陆地直线距离9KM的位置设为A点，司令部设为B点,AB两点距离为15km（根据勾股定理）

设该点距离A为xkm

根据题意我们可以列出时间函数f(t)=根号(x^2+81)/4+(34-x)/5

求导，当f'(t)=0时

x为唯一正值=12

所以在距离A点12km处登岸，时间最短为8.15小时